Eriksson & Lundevall

Lösenords sidan

Facit till matematiskaövningar.

1

1 2 3 = 1 (1+2)/3 = 1
1 2 3 4 = 1 (12/3)/4 = 1 eller - 1 +2*3-4 =1
1 2 3 4 5 = 1 ((1+2)*3-4))/5 = 1
1 2 3 4 5 6 = 1 (1*2+3-4+5)/6 = 1
1 2 3 4 5 6 7 = 1 (((1+2)*3-4)/5+6)/7 = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1 (((1+2)/3)*4+5+6-7)/8 = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 (1*2+3+4-5+6+7-8)/9

2

Fyra likadana bitar.

3

Mattan i lärarrumet. Två delar enligt figurer nedan.

4

Det spelar ingen roll var man placerar kraftverket. Summan av de nya
ledningarnas längd blir alltid samma och lika med triangelns höjd.
För att inse detta, b (basen ) * h (höjden ) / 2 = arean av triangel
ABC = (area av triangel ABG) + (area av triangel
BCG) + (area av triangel ACG) = b * h1 /2 + b * h2 /2 +
b * h3 /2 = b * ( h1 + h2 + h3 ) / 2.
Således är h1 + h2 + h3 = h.

5

Dela alla kvadratens sidor i sju , en centimeter långa delar.
Vi får då 28 punkter på kvadratens rand. Dra den första
linjen från mittpunkten till ett av kvadratens hörn och
dra därefter linjerna från kvadratens mittpunkt till var
fjärde punkt på randen. På så sätt delas kvadraten i sju delar.
Jag påstår att alla delarna har lika stor area. Se bild nedan.
Betrakta två av dessa delar nedan, triangel OAB och
fyrhörningen OBCD. Triangelns area är lika med hälften
av produkten ( basen * höjden ). Basen är sidan AB och
höjden är lika med avståndet från basen till kvadratens mittpunkt,
alltså lika med hälften av kvadratens sida. Således är arean
OAB lika med (1/2)*4*(7/2) = 7 kvadratcentimeter.
En sjundedel av hela kvadraten. Fyrhörningen OBCD består av
två trianglar, OBC och OCD. Båda trianglarna har samma höjd
( som är samma som höjden i triangel OAB ) och vi får att
arean av OBCD = ( arean av OBC ) + ( arean av OCD )
= (1/2)*3*(7/2) + ( 1/2)*1*(7/2) = 7 kvadratcentimeter.
På samma sätt visas att alla delar har en area lika med
7 kvadratcentimeter.






6

Vilken siffra står på 187208:e platsen?

Ensiffriga tal 1 * 9 = 9 platser.
Tvåsiffriga tal 2 * 90 = 180 platser.
Tresiffriga tal 3 * 900 = 2700 platser.
Fyrsiffriga tal 4 * 9000 = 36000 platser.
Talen 1 t o m 9999, upptar 9 + 180 + 2700 + 36000 =
38889 platserna i raden.
Där efter kommer 5 * 90000 = 450000 platser som upptas
av femsiffriga tal, från 10000 till 99999.
På plats 187208 - 38889 = 148319 och 148319 = 5 * 29663 + 4.
Vi söker alltså den fjärde siffran i det 29664:e femsiffriga talet.
De talen 10000, 10001, 10002, 10003 osv.
Det 29664:e talet är 39663. Den fjärde siffran är 6.

7

Beräkna summan av siffrorna i alla heltal mellan 1 och 10000.

Vi grupperar alla heltal från 0 till 9999 i par:
0 och 9999, 1 och 9998, 2 och 9997 osv, till 4999 och 5000.
Det finns alltså 5000 sådana par. Summan av alla siffror
i varje par är 36, för det är lätt att se att om det första
talet har siffrorna a, b, c, och d, så har det andra talet
siffrorna 9-a, 9-b, 9-c, och 9-d, och ( a + b + c + d ) +
( 9-a + 9-b + 9-c + 9-d ) = 36. Summan av siffrorna av alla tal
från 0 till 9999 är därför lika med 5000 * 36 = 180000.
Då återstår bara talet 10000 och den sökta summan blir 180001.

8

Kodlås.

Det finns 27 möjliga tresiffriga koder.
Om man trycker på en följd av knappar räknas alla
siffror utom dom två sista i den följden som den
första siffran i en tresiffrig kod. Således måste man
trycka minst 27 + 2 = 29 knappar. Och det är faktiskt
möjligt med bara 29 tryckningar!
Man kan göra det på till exempel följande sätt:
11123222133313121223113233211.
I den följden förekommer alla 27 koderna.
Det blir jobbigare med fyra siffror.

9

Skolans timglas.
En lösning på problemet kan vara följande .
Låt A beteckna 5-minutersglaset och B 8-minutersglaset.
Börja med att vända båda timglasen samtidigt.
När A blir tomt (efter 5 minuter ) så vänder du på A.
När B blir tomt (efter ytterligare 3 minuter ) vänder du på B.
När A blir tomt ( 2 minuter senare ) vänder du på B igen.
Efter 2 minuter blir B tomt och då har det gått tolv ( 12 ) minuter.

10

Vågrätt :

1. Talet är delbart med V10 och summan av siffrorna överstiger 13.
5. Ett tal som inte ändrar sig om man vänder det upp och ner .
7. Summan av siffrorna är 22.
9. Ett primtal.
10. Produkten av två primtal.
11. Kvadraten av ett tal.
12. Ett tal som är både kvadrat och kubik.

Lodrätt:

1. De första siffrorna från V7 fast i omvänd ordning.
2. Produkten av fler än tre tal som alla är större än 1.
3. Består av enbart udda siffror och inga två av dem är lika.
4. Produkten av L9 läst baklänges och V12.
6. Ett primtal som har två siffror lika.
8. Detta tal minskat med 10 ger vid division med 2, 3, 4, 5, 6 och 7 respektive rester 1, 2, 3, 4, 5 och 6.
9. Ett tal delbart med 7.

Man bör börjar korsordet med V12.
Det finns bara fem tal vars kubik är tresiffrig, nämligen 5, 6, 7, 8, och 9.
Söker man bland deras tredje potenser hittar man
bara 9³ = 729 som också är kvadrat av ett tal: 729 = 27².
I nästa steg tittar vi på L8.
Om ett tal A ger rester 1, 2, 3, 4, 5 och 6 vid division
med respektive 2, 3, 4, 5, 6, och 7, så är talet A + 1
delbart med 2, 3, 4, 5, 6, och 7.
Om ett tal är delbart med 3 och fyra är det också
delbart med 12, alltså med 2 och även med 6.
Det räcker där för att hitta talen som är delbara med 3, 4, 5, och 7.
Det minsta sådant tal är 3*4*5*7 = 420 och nästa
är 2 * 420 = 840. Större tal behöver man inte
titta på eftersom det vi söker är ett tresiffrigt tal.
Talet A är alltså 419 eller 839 och det sökta talet ( + 10 )
är 429 eller 849. Den sista siffran är 9 i båda fallen
och detta medför att V11 måste bli 49 ( kvadraten av 7 ).
Således är L9 antingen 14 eller 84. 84 kan dock inte
vara korrekt. Ty i L4 skullevi då ha 48 * 729 = 34992
som inte över- enstämmer med den sista siffran
som ska vara 9. Därför är L9 lika med 14 och
L4 är 41 * 729 = 29889. I V10 kan vi endast ha 38 eller 58 .
Det andra alternativet måste man dock förkasta,
ty L6 kan inte ha 5 som den sista siffran ( det finns
inget primtal som slutar på 5). Således är V10 lika
med 38. Vad händer om L8 är 429? Som de två första
siffrorna i V9 får vi 1 och 2. Det enda tresiffriga
primtal som börjar med 12 är 127. Vi får då 127 som
V9 och 77 som de två sista siffrorna i L3.
Alla siffrorna där ska dock vara olika, alltså måste
vi förkasta 429 i L8. I L8 måste vi därför ha 849
och då blir V9 lika med 149. Vi vet att V5 endast
kan bestå av siffrorna 0, 1, 6, 8 och 9. Den sista siffran
är 9, alltså måste den första vara 6. Den andra siffran
måste vara ett udda tal ( i L3 har alla siffror udda ),
och det kan inte vara 9 ( i L3 är alla siffror olika ).
Således är V5 6119. För L6 har vi då två möjligheter:
113 eller 133. Det andra talet är inte ett primtal, återstår
då 113. Den tredje siffran i L3 är 5 eller 3. Väljer vi 5
får vi 8518 som de sista fyra siffrorna i V7. Deras summa
är 22 och det innebär att den första siffran i V7 blir 0.
Det är dock omöjligt och då återstår 51397 i L3 och
28318 i V7. Följdaktligen är L1 lika med 382.
Som L2 kan vi då välja mellan 16, 36, 56, eller 96.
Det är lätt att övertyga sig om att endast 96 passar där
med tanke på V1, som då blir lika med 3952. Se bild nedan.






Så här kan lösningen göras på lösenordet.
SEND+MORE=MONEY
9567+1085=10652